Question

【題目】已知函數(shù)，(為常數(shù))

(1)若

①求函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值。

②若過點可作函數(shù)的三條不同的切線，求實數(shù)的取值范圍。

(2)當(dāng)時，不等式恒成立，求的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）。

【解析】

(1)①利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值；②設(shè)曲線切線的切點坐標(biāo)為，則，故切線方程為，

因為切線過點，所以有三個不同的解；

（2）不等式等價于，令，明確函數(shù)的最值，對a分類討論，即可得到結(jié)果。

(1)因為，所以，從而。

①令，解得或，列表：

所以，，。

②設(shè)曲線切線的切點坐標(biāo)為，則，

故切線方程為，

因為切線過點，所以，

即，

令，則，

所以，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，

所以，，

要使過點可以作函數(shù)的三條切線，則需，解得。

（2）當(dāng)時，不等式等價于，

令，則，

所以，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，故。

若，則，此時；

若，則，從而；

綜上可得。