Question

（2010•廣州模擬）若2＜x＜3，P=(

1

2

)x，Q=log₂x，R=

x

，則P，Q，R的大小關(guān)系是（　　）

A．Q＜P＜R

B．Q＜R＜P

C．P＜R＜Q

D．P＜Q＜R

Answer 1

分析：利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)可得到

1

8

＜P＜

1

4

，Q＞1，R＞

2

，再構(gòu)造函數(shù)x=2^2t，通過分析y=2t 和 y=2^t的圖象與性質(zhì)，得到結(jié)論．

解答：解：P=(

1

2

)x在x∈（2，3）上單調(diào)遞減，

1

8

＜P＜

1

4

；
Q=log₂x在x∈（2，3）上單調(diào)遞增Q＞1；
R=

x

在x∈（2，3）上單調(diào)遞增，R＞

2

，顯然需要比較的是Q，R的大小關(guān)系．
令x=2^2t，這是一個單調(diào)遞增函數(shù)，顯然在x∈（2，3）上x與t 一一對應(yīng)，
則1＜Q=log₂x=2t，R=2^t＜

3

，
∴

1

2

＜t＜

1

2

log₂3＜

1

2

•log₂4=1，在坐標(biāo)系中做出 y=2t 和 y=2^t的圖象，兩曲線分別相交在 t=1 和 t=2 處，
可見，在 t＜1 范圍內(nèi) y=2t 小于 y=2^t，
在 1＜t＜2 范圍內(nèi) y=2t 大于 y=2^t，
在 t＞2 范圍內(nèi) y=2t 小于 y=2^t，
∵

1

2

＜t＜1，∴2t＜2^t，即 R＞Q；
∴當(dāng)2＜x＜3時，R＞Q＞P．
故選D．

點評：本題考查對數(shù)值大小的比較，難點在于Q，R的大小比較，考查構(gòu)造函數(shù)，通過指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)分析解決問題，考查學(xué)生綜合分析與解決問題的能力，屬于難題．