Question

討論函數f（x）=x+（a＞0）的單調性．

Answer 1

【答案】分析：根據函數的解析式，我們易判斷出函數的定義域和奇偶性，然后利用作差法，我們先討論f（x）在（0，+∞）上的單調性．再根據奇函數在對稱區間上單調性相同，易判斷出函數f（x）=x+（a＞0）的單調性．
解答：解：f（x）=x+（a＞0），
∵定義域為{x|x∈R，且x≠0}且
f（-x）=-x+=-（x+）=-f（x）．
∴f（x）為奇函數，
所以先討論f（x）在（0，+∞）上的單調性．
設x₁＞x₂＞0，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁+-x₂-=（x₁-x₂）（1-），
∵當0＜x₂＜x₁≤時，恒有＞1．
則f（x₁）-f（x₂）＜0，故f（x）在（0，]上是減函數．
當x₁＞x₂≥時，恒有0＜＜1，
則f（x₁）-f（x₂）＞0，故f（x）在[，+∞）上是增函數．
∵f（x）是奇函數，
∴f（x）在（-∞，-]上為增函數；
f（x）在[-，0）上為減函數．
綜上知f（x）在（-∞，-]，[，+∞）上為增函數；f（x）在[-，0），（0，]上為減函數．
點評：本題考查的知識點是函數的單調性的判斷與證明，作差法是證明和判斷單調性時最常用的方法，利用奇函數在對稱區間上單調性相同能簡化本題的解題步驟．