Question

討論函數f（x）=x+

a

x

（a＞0）的單調性．

Answer 1

分析：根據函數的解析式，我們易判斷出函數的定義域和奇偶性，然后利用作差法，我們先討論f（x）在（0，+∞）上的單調性．再根據奇函數在對稱區間上單調性相同，易判斷出函數f（x）=x+

a

x

（a＞0）的單調性．

解答：解：f（x）=x+

a

x

（a＞0），
∵定義域為{x|x∈R，且x≠0}且
f（-x）=-x+

a

-x

=-（x+

a

x

）=-f（x）．
∴f（x）為奇函數，
所以先討論f（x）在（0，+∞）上的單調性．
設x₁＞x₂＞0，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁+

a

x 1

-x₂-

a

x2

=（x₁-x₂）（1-

a

x1x2

），
∵當0＜x₂＜x₁≤

a

時，恒有

a

x1x2

＞1．
則f（x₁）-f（x₂）＜0，故f（x）在（0，

a

]上是減函數．
當x₁＞x₂≥

a

時，恒有0＜

a

x1x2

＜1，
則f（x₁）-f（x₂）＞0，故f（x）在[

a

，+∞）上是增函數．
∵f（x）是奇函數，
∴f（x）在（-∞，-

a

]上為增函數；
f（x）在[-

a

，0）上為減函數．
綜上知f（x）在（-∞，-

a

]，[

a

，+∞）上為增函數；f（x）在[-

a

，0），（0，

a

]上為減函數．

點評：本題考查的知識點是函數的單調性的判斷與證明，作差法是證明和判斷單調性時最常用的方法，利用奇函數在對稱區間上單調性相同能簡化本題的解題步驟．