Question

已知3^a=5^b=c，且

1

a

+

1

b

=2，設函數f(x)=x2-

4c2

15

x-4．
（1）求c的值；
（2）記g（t）為函數f（x）在閉區間[t，t+1]（r∈R）上的最小值，利用（1）中所求的c值，試寫出g（t）的函數表達式，并求出g（t）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知中3^a=5^b=c，且

1

a

+

1

b

=2，我們易根據換底公式得到

1

a

=log_c3，

1

b

=log_c5，進而根據對數的運算性質，構造關于c的方程，解方程求出c的值．
（2）根據（1）中結論，我們將問題轉化為一個二次函數在定區間上的最小值問題，分類討論后，即可得到g（t）的函數表達式，結合二次函數的性質及分段函數最小值的確定方法得到g（t）的最小值．

解答：解：（1）∵3^a=5^b=c，
∴

1

a

=log_c3，

1

b

=log_c5
又∵

1

a

+

1

b

=2，
∴c=

15

（2）∵由（1）中c=

15

∴f(x)=x2-

4c2

15

x-4=x²-4x-4
當t+1＜2，即t＜1時，
g（t）=f（t+1）=t²-2t-7
當t≤2≤t+1，即1≤t≤2時，
g（t）=f（2）=-8
當t＞2時，
g（t）=f（t）=t²-4t-4
則g（t）=

t2-2t-7，t＜1 -8，1≤t≤2 t2-4t-4，t＞2

g（t）的最小值為-8

點評：本題考查的知識點是換底公式的應用，函數的最值及其幾何意義，其中利用換底公式和對數的運算性質，求出c值，進而得到函數的解析式是解答本題的關鍵．