Question

直線y=kx與曲線y=sinx恰5個公共點，其橫坐標由小到大依次為x₁，x₂，…，x₅．則x₅與tanx₅大小為（　　）

A．x₅＞tanx₅

B．x₅＜tanx₅

C．x₅=tanx₅

D．無法確定

Answer 1

分析：將方程根的問題轉化為圖象的交點問題，先畫圖（如下），再觀察交點個數即可．

解答：解：畫出函數f（x）=sinx和g（x）=kx的圖象如圖所示：
由題意可得，方程sinx=kx 在R上有且僅有5個根，
即函數f（x）=sinx和g（x）=kx的圖象在R上有且僅有5個交點．
x₅ 必是函數g（x）=kx與f（x）=sinx在（2π，3π）內相切時切點的橫坐標，
即切點為（x₅，sinx₅），故 g（x）=kx是f（x）=sinx的切線，故k=cosx₅，
再由sinx₅ =kx₅=cosx₅•x₅，可得 x₅=tanx₅ ，
故選C．

點評：數形結合是重要的數學思想，以形助數，直觀簡捷，從而利用函數圖象可以進一步發現函數性質，并能利用函數圖象解決實際問題，屬于中檔題．