Question

【題目】設圓的圓心為，直線過點且與軸不重合，交圓于，兩點，過點作的平行線交于點.

（1）求的值；

（2）設點的軌跡為曲線，直線與曲線相交于，兩點，與直線相交于點，試問在橢圓上是否存在一定點，使得，，成等差數列（其中，，分別指直線，，的斜率）.若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)見證明

【解析】

（1）由且，可得，進而得到

，再由半徑，即可求解；

（2）由（1）知得的方程，設直線的方程為，代入橢圓的方程，利用根與系數的關系和，，成等差數列，求得

，由對任意的該等式恒成立，求得，即可得到答案.

（1）因為圓的圓心為，所以且，

所以，所以，

所以，

又因為圓的半徑為8，即，

所以.

（2）由（1）知，曲線是以，為焦點的橢圓，且長軸長為8，

所以曲線的方程為，

設直線的方程為，

代入橢圓化簡得，

設，，，則，，

所以

，

因為，，成等差數列，所以，

因為，所以，

化簡得，

對任意的該等式恒成立，所以，

所以存在點，使得，，成等差數列.