Question

在正三棱錐ABC-A₁B₁C₁中，已知M為底面△ABC內（含邊界）一動點，且點M到三個側面ABB₁A₁、BCC₁B₁、ACC₁A₁的距離成等差數列，則點M的軌跡是

1. A.
   一條線段
2. B.
   橢圓的一部分
3. C.
   雙曲線的一部分
4. D.
   拋物線的一部分

Answer 1

A
分析：由題意，M到AB，BC，AC的距離成等差數列，設M到AB，BC，AC的距離分別為a，b，c，則2b=a+c，進而可得M到BC的距離為正三角形高的，故可求點M的軌跡．
解答：由題意，M到AB，BC，AC的距離成等差數列，設M到AB，BC，AC的距離分別為a，b，c，則2b=a+c
設正三角形的邊長為m，則×2b=×a+×c
∴2S_△MBC=S_△MAB+S_△MAC
∴3S_△MBC=S_△ABC
∴M到BC的距離為正三角形高的
∴點M的軌跡是一條線段
故選A．
點評：本題考查立體幾何中的軌跡問題，確定三角形的面積之間的關系是關鍵．