Question

如圖，在四棱錐中，平面平面，，是等邊三角形，已知.

（1）設是上的一點，證明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）詳見試題解析；（2）二面角的余弦值為.

試題分析：（1）由勾股定理得：。根據面面垂直的性質定理，可得平面
再由面面垂直的判定定理得：平面平面；
（2）思路一、由于，故可以為原點建立空間直角坐標系，利用向量方法可求得二面角的余弦值.
思路二、作出二面角的平面角，然后求平面角的余弦值.
由（1）知平面，所以平面平面
過作的垂線，該垂線即垂直平面
再過垂足作的垂線，將垂足與點連起來，便得二面角的平面角
試題解析：（1）證明：在中，由于,,,
,故.
又，
，，又，
故平面平面                                             5分
（2）法一、如圖建立空間直角坐標系，, ,

  , .
設平面的法向量, 由
令, .
設平面的法向量, 由
即，令

,二面角的余弦值為          12分
法二、

由（1）知平面，所以平面平面
過作交于，則平面
再過作交于，連結，則就是二面角的平面角
由題設得。由勾股定理得：
所以.
二面角的余弦值為                                     12分