Question

在三棱拄中，側面，已知，，.

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）試在棱(不包含端點)上確定一點的位置，使得；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下,求和平面所成角正弦值的大小.                                    

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）欲證線面垂直，先考察線線垂直，易證，可試證，由題目給條件易想到利用勾股定理逆定理；（Ⅱ）要想在棱找到點，使得，易知，那么這時就需要使，這時就轉化為一個平面幾何問題：以矩形的邊為直徑作圓，與的公共點即為所求，易知只有一點即的中點 ，將以上分析寫成綜合法即可，找到這一點后，也可用別的方法證明，如勾股定理逆定理；（Ⅲ）求直線與平面所成的角，根據其定義，應作出這條直線在平面中的射影，再求這條直線與其射影的夾角（三角函數值），本題可考慮點在平面的射影，易知平面與側面垂直，所以點在平面的射影必在兩平面的交線上，過做的垂線交于，則為所求的直線與平面的夾角.
試題解析：（Ⅰ）因為，，，所以，
，所以
因為側面，平面，所以，又，
所以，平面                               4分
（Ⅱ）取的中點，連接 ，，，等邊中，
同理，， ，所以，可得，所以
因為側面，平面，所以，且，
所以平面，所以；                                  8分
（Ⅲ）側面，平面，得平面平面，
過做的垂線交于，平面
連接，則為所求，
因為  ，，所以 ，為的中點 得為的中點，
 ， 由（2）知 ，所以                  13分