Question

8．若不等式$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$+1＞m（a+b）對任意正數a，b恒成立，則實數m的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{2}$）
• B． （-∞，1）
• C． （-∞，2）
• D． （-∞，3）

Answer 1

分析 不等式$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$+1＞m（a+b）對任意正數a，b恒成立，可得m＜$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}+2}{2（a+b）}$，再利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：∵不等式$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$+1＞m（a+b）對任意正數a，b恒成立，
∴m＜$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}+2}{2（a+b）}$，
∵$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}+2}{2（a+b）}$≥$\frac{\frac{{（a+b）}^{2}}{2}+2}{2（a+b）}$=$\frac{a+b}{4}$+$\frac{1}{a+b}$≥2$\sqrt{\frac{a+b}{4}•\frac{1}{a+b}}$=1．當且僅當a=b=1時取等號．
∴m＜1，
故選：B．

點評 本題考查了基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．