Question

1．某軟件公司新開發一款游戲軟件，該軟件按游戲的難易程度共設置若干關的闖關游戲，為了激發闖關熱情，每闖過一關都獎勵若干慧幣（一種網絡虛擬幣）．設第n關獎勵a_n個慧幣，且滿足$\frac{1}{2}$a_n≤a_n+1≤4a_n，a₁=1，該軟件提供了兩種獎勵方案：第一種，從第二關開始，每闖過一關獎勵的慧幣數是前一關的q倍；第二種，從第二關開始每一關比前一關多獎勵d慧幣（d∈R）；游戲規定：闖關者須于闖關前任選一種獎勵方案．
（Ⅰ）若選擇第一種方案，設第一關到第n關獎勵的總慧幣數為S_n，即S_n=a₁+a₂+…+a_n，且$\frac{1}{2}$S_n≤S_n+1≤
4S_n，求q的取值范圍；
（Ⅱ）如果選擇第二種方案，且設置第一關到第k關獎勵的總幣數為100（即a₁+a₂+a₃+…+a_k=100，k∈N^*）時獲特別獎，為了增加獲特別獎的難度，如何設置d的取值，使得k最大，并求k的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得第一方案{a_n}是等比數列，先根據$\frac{1}{2}$a_n≤a_n+1≤4a_n，a₁=1，求出q的范圍，再根據條件和等比數列的求和公式和$\frac{1}{2}$S_n≤S_n+1≤4S_n，分類討論，即可求出q的范圍，
（Ⅱ）選擇第二種方案{a_n}是等差數列，先根據$\frac{1}{2}$a_n≤a_n+1≤4a_n，a₁=1，求出d和n的關系，再根據等差數列的求和公式和a₁+a₂+a₃+…+a_k=100，即可求出答案

解答 解：（Ⅰ）由題意可得第一方案{a_n}是等比數列，且$\frac{1}{2}$a_n≤a_n+1≤4a_n，a₁=1，
∴$\frac{1}{2}$q^n-1≤qⁿ≤4q^n-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{q}^{n-1}（q-\frac{1}{2}）≥0}\\{{q}^{n-1}（q-4）≤0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{2}$≤q≤4，
∵$\frac{1}{2}$S_n≤S_n+1≤4S_n，當q=1時，$\frac{n}{2}$≤n+1≤4n，對任意n∈N*恒成立，故滿足題意，
當q≠1時，$\frac{1}{2}$•$\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$≤$\frac{1-{q}^{n+1}}{1-q}$≤4•$\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$，
∴當q∈[$\frac{1}{2}$，1）時，$\left\{\begin{array}{l}{{q}^{n}（2q-1）≤1}\\{{q}^{n}（q-4）≥-3}\end{array}\right.$，由單調性可得$\left\{\begin{array}{l}{q（2q-1）≤1}\\{{q}^{\;}（q-4）≥-3}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}$≤q＜1，
當q∈（1，4]時，$\left\{\begin{array}{l}{{q}^{n}（2q-1）≥1}\\{{q}^{n}（q-4）≤-3}\end{array}\right.$，由單調性可得$\left\{\begin{array}{l}{q（2q-1）≥1}\\{q（q-4）≤-3}\end{array}\right.$，
解得1＜q≤3，
綜上所述q∈[$\frac{1}{2}$，3]，
（Ⅱ）選擇第二種方案{a_n}是等差數列，且$\frac{1}{2}$a_n≤a_n+1≤4a_n，a₁=1，
∴$\frac{1}{2}$[1+（n-1）d≤1+nd≤4（1+（n-1）d），
∴$\left\{\begin{array}{l}{d（n+1）≥-1}\\{d（3n-4）≥-3}\end{array}\right.$，n=1，2，3，…，k-1，
∴當n=1時，-$\frac{1}{2}$≤d≤3，
當2≤n≤k-1時，d≥$\frac{-1}{n+1}$，
∵n≤k-1，
∴d≥$\frac{-1}p9vv5xb5$≥$-\frac{1}{2}$，
∵d≥$\frac{-3}{3n-4}$，
∴d≥$\frac{-3}{3k-7}$，
而-$\frac{1}{k}$≥$\frac{-3}{3k-7}$，
∴d∈[-$\frac{1}{k}$，3]，
∵a₁+a₂+…+a_k=100
∴S_k=$\fracp9vv5xb5{2}$k²+（1-$\fracp9vv5xb5{2}$）k=100，
∴d=$\frac{200-2k}{{k}^{2}-k}$，
∴$\frac{200-2k}{{k}^{2}-k}$∈[-$\frac{1}{k}$，3]，
解得k∈[9，199]，k∈Z，
∴k的最大值為199，且k取最大值時d=-$\frac{1}{199}$．

點評 本題考查數列知識在生產實際中的具體運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，仔細分析題設中的數量關系，合理地進行等價轉化，屬于難題