Question

12．已知a＜0，曲線f（x）=2ax²+bx+c與曲線g（x）=x²+alnx在公共點（1，f（1））處的切線相同．
（Ⅰ）試求c-a的值；
（Ⅱ）若f（x）≤g（x）+a+1恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別求出f（x），g（x）的導數，得到關于a，b，c的方程組，求出c-a的值即可；
（Ⅱ）根據（2a-1）x²+（2-3a）x-alnx-2≤0對x∈（0，+∞）恒成立，令h（x）=（2a-1）x²+（2-3a）x-alnx-2，（a＜0），根據函數的單調性求出函數的最大值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2ax²+bx+c，f（1）=2a+b+c，
∴f′（x）=4ax+b，f′（1）=4a+b，
又g（x）=x²+alnx，g（1）=1，
∴g′（x）=2x+$\frac{a}{x}$，g′（1）=2+a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+b+c=1}\\{4a+b=2+a}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{b=2-3a}\\{2a+2-3a+c=1}\end{array}\right.$，
故c-a=-1；
（Ⅱ）∵f（x）≤g（x）+a+1恒成立，
∴（2a-1）x²+（2-3a）x-alnx-2≤0對x∈（0，+∞）恒成立，
令h（x）=（2a-1）x²+（2-3a）x-alnx-2，（a＜0），
則h′（x）=$\frac{2（2a-1{）x}^{2}+（2-3a）x+a}{x}$，
令h′（x）=0，解得：x=1或x=-$\frac{a}{2（2a-1）}$＜0，（舍），
故h（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
則h（x）_max=h（1）=-a-1≤0，解得：a≥-1，
故a∈[-1，0）．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．