Question

函數f（x）=2sin²x-2asinx+a²-2a-1（0≤x≤

π

2

）的最小值為-2，求實數a的值，并求此時f（x）的最大值．

Answer 1

考點：三角函數的最值

專題：三角函數的求值

分析：由題意可得sinx∈[0，1]，根據 f（x）=2(sinx-

a

2

)2+

a2

2

-2a+1最小值為-2，分類討論求得a的值，可得f（x）的解析式，再利用二次函數的性質求得它的最大值．

解答： 解：∵0≤x≤

π

2

，∴sinx∈[0，1]，
又f（x）=2sin²x-2asinx+a²-2a-1=2(sinx-

a

2

)2+

a2

2

-2a+1，
當

a

2

＜0時，函數f（x）的最小值為 a²-2a-1=-2，求得無解．
當

a

2

∈[0，1]時，函數f（x）的最小值為

1

2

a²-2a-1=-2，求得a=2-

2

．
當

a

2

＞1時，函數f（x）的最小值為2(1-

a

2

)2+

1

2

a²-2a-1=-2，求得a=3．
綜上可得，a=2-

2

，或a=3．
當a=2-

2

時，f（x）=2(sinx-

a

2

)2+

a2

2

-2a+1=2(sinx-

2- 2

2

)2，故f（x）的最大值為2(1-

2- 2

2

)2=2×

1

2

=1；
當a=3時，f（x）=2(sinx-

a

2

)2+

a2

2

-2a+1=2(sinx-

3

2

)2-

1

2

，故f（x）的最大值為2×

9

4

-

1

2

=2×

1

2

=4．

點評：本題主要考查正弦函數的定義域和值域，二次函數的性質，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于基礎題．