Question

△ABC中，A（2，3），B（4，6），C（3，-1），點D滿足．
（1）求點D的軌跡；
（2）求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出點D的坐標，代入已知等式化簡，由軌跡方程判斷軌跡．
（2）因為A、B在直線的同一側，先求出A關于直線的對稱點A′的坐標，所求的最小值就是|A′B|的值．
解答：（1）解：設點D（x，y），∵點D滿足，
∴（-1，4）•（x-3，y+1）=（x-3，y+1）•（1，7），
∴3-x+4y+4=x-3+7y+7，即 2x+3y-3=0．∴點D的軌跡是一條直線．
（2）解：設A（2，3）關于點D的軌跡（直線）的對稱點A′（a，b），則有：
=，即  3a-2b=0   ①，又AA′的中點（，）在直線2x+3y-3=0上，
∴2•+3•-3=0，即 2a+3b+7=0  ②，由①②可解得點A′（-，-），
∴=|DA′|+|DB|≥|A′B|==，
∴的最小值為．
點評：本題考查軌跡方程求法、及求點關于直線的對稱點的求法，利用了的最小值為|A′B|．