Question

由下列不等式：1＞

1

2

，1+

1

2

+

1

3

＞1，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

7

＞

3

2

，1+

1

2

+

1

3

+…

1

15

＞2，…，你能得到一個怎樣的一般不等式？并加以證明．

Answer 1

分析：根據已知不等式猜想第n個不等式，然后利用數學歸納法證明即可．

解答：解：根據給出的幾個不等式1+

1

2

+

1

3

＞1，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

7

＞

3

2

，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

15

＞2，…
可以猜想第n個不等式，即一般不等式為：
1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n-1

＞

n

2

，n∈Z．
用數學歸納法證明如下：
①當n=1時，1＞

1

2

，猜想正確．
②假設n=k時猜想成立，即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

＞

k

2

，
則n=k+1時，
1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

+

1

2k

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1-1

＞

k

2

+

1

2k

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1-1

＞

k

2

+

1

2k+1

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

=

k

2

+

2k

2k+1

=

k+1

2

，
即當n=k+1時，猜想也成立，
所以對任意的n∈N⁺，不等式成立．

點評：本題考查數學猜想，以及數學歸納法的證明，注意n=k+1時必須用上假設，考查邏輯思維能力，計算能力．