Question

5．已知f（x）=asinx+bcosx（a＞0），且當f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$時f（x）的最大值為$\sqrt{10}$．
（1）求a，b的值．
（2）若f（x）=1且x≠kπ，（k∈Z）求sin2x的值．

Answer 1

分析 （1）依題意，可列出關于a、b的方程組$\left\{\begin{array}{l}{a+b=2}\\{{a}^{2}{+b}^{2}=10}\end{array}\right.$，解之即可；
（2）由f（x）=1且x≠kπ（k∈Z）可求得cosx=$\frac{4}{5}$，sinx=$\frac{3}{5}$，從而可求sin2x的值．

解答 解：（1）由已知可得，a+b=2，a²+b²=10（a＞0），
解得a=3，b=-1．
（2）由f（x）=1得，3sinx-cosx=1，
∴3sinx=cosx+1，
平方得，9sin²x=cos²x+2cosx+1，
∴5cos²x+cosx-4=0，
∴cosx=$\frac{4}{5}$（-1舍去），從而sinx=$\frac{3}{5}$，
∴sin2x=2sinxcosx=2×$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{24}{25}$．

點評 本題考查三角函數中的恒等變換應用，突出考查函數與方程思想及運算求解能力，屬于中檔題．