Question

已知函數f（x）=

-x3+x2+bx+c(x＜1) alnx  (x≥1)

的圖象過點（-1，2），且在x=

2

3

處取得極值．
（Ⅰ）求實數b，c的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-1，e]（e為自然對數的底數）上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為函數f（x）=

-x3+x2+bx+c(x＜1) alnx  (x≥1)

的圖象過點（-1，2），可把（-1，2）點坐標代入，得到一個關于b，c的等式，再因為函數在x=

2

3

處取得極值，所以函數在x=

2

3

處的導數為0，由此又得到一個關于b，c的等式，兩個等式聯立，就可解出b，c．
（Ⅱ）利用導數求最大值，因為f（x）為分段函數，所以可按x的范圍，分段求導數，找到極大值，再比較區間
[-1，e]上的極大值與端點函數值的大小，找到最大值．

解答：解：（Ⅰ）當x＜1時，f^′（x）=-3x²+2x+b，
由題意得：

f(-1)=2 f′( 2 3 )=0

，即

2-b+c=2 -3× 4 9 + 4 3 +b=0

，
解得：b=c=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=

-x3+x2+bx+c(x＜1) alnx  (x≥1)

①當-1≤x＜1時，f^′（x）=-x（3x-2），
解f^′（x）＞0得0＜x＜

2

3

；解f^′（x）＜0得-1＜x＜0或

2

3

＜x＜1
∴f（x）在（-1，0）和(

2

3

，1)上單減，在（0，

2

3

）上單增，
由f^′（x）=-x（3x-2）=0得：x=0或x=

2

3

，
∵f（-1）=2，f（

2

3

）=

4

27

．f（0）=0，f（1）=0，
∴f（x）在[-1，1）上的最大值為2．
②當1≤x≤e時，f′（x）=alnx，
當a≤0時，f′（x）≤0；
當a＞時，f（x）在[1，e]單調遞增；
∴f（x）在[1，e]上的最大值為a．
∴當a≥2時，f（x）在[-1，e]上的最大值為a； 
當a＜2時，f（x）在[-1，e]上的最大值為2．

點評：本題考查了應用導數求極值，最值，屬于導數的應用，為高考必考內容．