Question

6．已知函數f（x）=（x³-6x²+3x+t）e^x，t∈R．
（1）若函數f（x）有三個極值點，求t的取值范圍；
（2）若函數f（x）在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）處取得極值，且a+c=2b²，求f（x）的零點．

Answer 1

分析 （1）由已知得f′（x）=（x³-3x²-9x+t+3）e^x，令g（x）=x³-3x²-9x+t+3，由此能求出t的取值范圍．
（2）由已知得x³-3x²-9x+t+3=（x-a）（x-b）（x-c）=x³-（a+b+c）x²+（ab+bc+ac）x-abc，由此能求出f（x）的零點．

解答 解：（1）∵f（x）=（x³-6x²+3x+t）e^x，t∈R．
∴f′（x）=（3x²-12x+3）e^x+（x³-6x²+3x+t）e^x
=（x³-3x²-9x+t+3）e^x，
∵f（x）有3個極值點，∴x³-3x²-9x+t+3=0有3個不同的根，（2分）
令g（x）=x³-3x²-9x+t+3，則g′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3），
從而函數g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上遞增，在（-1，3）上遞減．
∵g（x）有3個零點，∴$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）＞0}\\{g（3）＜0}\end{array}\right.$，∴-8＜t＜24．（4分）
（2）∵a，b，c是f（x）的三個極值點
∴x³-3x²-9x+t+3=（x-a）（x-b）（x-c）
=x³-（a+b+c）x²+（ab+bc+ac）x-abc，（6分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=3}\\{ab+ac+bc=-9}\\{a+c={2b}^{2}}\end{array}\right.$，∴b=1或b=-$\frac{3}{2}$（舍，∵b∈（-1，3））
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1-2\sqrt{3}}\\{b=1}\\{c=1+2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴f（x）的零點分別為1-2$\sqrt{3}$，1，1+2$\sqrt{3}$．（10分）

點評 本題考查實數的取值范圍的求法，考查函數的零點的求法，考查正整數的最大值的求法，解題時要認真審題，注意構造法和等價轉化思想的合理運用．