Question

18．規定[t]為不超過t的最大整數，例如[12.5]=12，[-3.5]=-4，對任意的實數x，令f₁（x）=[4x]，g（x）=4x-[4x]，進一步令f₂（x）=f₁[g（x）]．
（1）若x=$\frac{7}{16}$，分別求f₁（x） 和f₂（x）；
（2）若f₁（x）=1，f₂（x）=3同時滿足，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知得f₁（x）=${f}_{1}（\frac{7}{16}）$=[4×$\frac{7}{16}$]=[$\frac{7}{4}$]，f₂（x）=${f}_{2}（\frac{7}{16}）={f}_{1}[g（\frac{7}{16}）]$=[4×$（4×\frac{7}{16}-[4×\frac{7}{16}]）$]，由此能求出結果．
（2）由已知得f₁（x）=1，g（x）=4x-1，f₂（x）=f₁（4x-1）=[16x-4]=3，由此能求出x的取值范圍．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）∵對任意的實數x，令f₁（x）=[4x]，g（x）=4x-[4x]，進一步令f₂（x）=f₁[g（x）]，
x=$\frac{7}{16}$，
∴f₁（x）=${f}_{1}（\frac{7}{16}）$=[4×$\frac{7}{16}$]=[$\frac{7}{4}$]=1，
f₂（x）=${f}_{2}（\frac{7}{16}）={f}_{1}[g（\frac{7}{16}）]$=[4×$（4×\frac{7}{16}-[4×\frac{7}{16}]）$]=[4×$\frac{3}{4}$]=3．
（2）∵f₁（x）=1，f₂（x）=3同時滿足，
∴f₁（x）=1，g（x）=4x-1，
f₂（x）=f₁（4x-1）=[16x-4]=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1≤4x＜2}\\{3≤16x＜4}\end{array}\right.$，解得$\frac{7}{16}≤x＜\frac{1}{2}$．
∴x的取值范圍是[$\frac{7}{16}$，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查函數值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．