Question

（2012•安徽模擬）若對所有正數x、y，不等式

1

x

+

1

y

≥

a

x+y

都成立，則a的最大值是（　　）

• A．1
• B．

  2

• C．2
• D．4

Answer 1

分析：根據題意，將

1

x

+

1

y

≥

a

x+y

變形為（x+y）（

1

x

+

1

y

）≥a，結合基本不等式的性質，可得（x+y）（

1

x

+

1

y

）的最小值為4，若（x+y）（

1

x

+

1

y

）≥a恒成立，由不等式的性質分析可得a的最大值，即可得答案．

解答：解：根據題意，x、y＞0，則x+y＞0，

1

x

+

1

y

≥

a

x+y

?（x+y）（

1

x

+

1

y

）≥a，
而（x+y）（

1

x

+

1

y

）=2+

y

x

+

x

y

≥2+2

y x x y

=4，
即（x+y）（

1

x

+

1

y

）的最小值為4，
若（x+y）（

1

x

+

1

y

）≥a恒成立，必有a≤4，
則a的最大值是4；
故選D．

點評：本題考查不等式的運用，關鍵是將

1

x

+

1

y

≥

a

x+y

變形為（x+y）（

1

x

+

1

y

）≥a．