Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=pⁿ+q（p≠0且p≠1），求證q=-1是數列{a_n}成等比數列的充要條件．

Answer 1

【答案】分析：先求出a₁的值，再由n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（p-1）•p^n-1進而可判定n≥2時，{a_n}是等比數列，最后再驗證當n=1時q=-1時可滿足，{a_n}是等比數列，從而{a_n}是等比數列的必要條件是p≠0且p≠1且q=-1；當p≠0且p≠1且q=-1時，根據S_n=pⁿ-1可求出a_n=（p-1）•p^n-1，進而得到=p即{a_n}是等比數列，即可知q=-1是{a_n}是等比數列的充分條件．
解答：證明：當n=1時，a₁=S₁=p+q；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（p-1）•p^n-1．
由于p≠0，p≠1，
∴當n≥2時，{a_n}是等比數列．要使{a_n}（n∈N^*）是等比數列，
則=p，即（p-1）•p=p（p+q），
∴q=-1，即{a_n}是等比數列的必要條件是p≠0且p≠1且q=-1．
再證充分性：
當p≠0且p≠1且q=-1時，S_n=pⁿ-1，
a_n=（p-1）•p^n-1，=p（n≥2），
∴{a_n}是等比數列．
點評：本題主要考查等比數列的充要條件，考查基礎知識的綜合運用．