Question

∫

3 1

(

4-(x-2)2

+3)dx=

2

3

π+

3

+6

．

Answer 1

分析：由于

∫

3 1

(

4-(x-2)2

+3)dx=

∫

3 1

4-(x-2)2

dx+

∫

3 1

3dx．前半部分由積分的幾何意義求解較好，其幾何意義是以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓在x從1到3部分與x軸所圍成的圖形的面積．

解答：解：由于

∫

3 1

(

4-(x-2)2

+3)dx=

∫

3 1

4-(x-2)2

dx+

∫

3 1

3dx．
其中

∫

3 1

4-(x-2)2

dx值相當于（2，0）為圓心，以2為半徑的圓在x從1到3部分與x軸所圍成的圖形的面積的大小，即圖中陰影部分的面積．
故其值是S_△ACQ+S_扇形ABQ+S_△BDQ=

1

2

×1×

3

+

1

6

×22×π+

1

2

×1×

3

=

3π

3

+

3

，
又

∫

3 1

3dx=6，
∴

∫

3 1

(

4-(x-2)2

+3)dx=

2

3

π+

3

+6．
故答案為：

2

3

π+

3

+6．

點評：本題考查求定積分，解題的關鍵是掌握住求定積分的公式以及定積分的幾何意義，對于有些原函數不易求出的積分的求解，用其幾何意義比較方便．