Question

已知函數(shù)f(x)=

1-x

ax

+lnx．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，把函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立問(wèn)題，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于正實(shí)數(shù)a的不等式問(wèn)題即可求出正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)為0的根，進(jìn)而求出其在[

1

2

，2]上的單調(diào)性即可求f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

1-x

ax

+lnx，
∴f'（x）=

ax-1

ax2

   （a＞0）
∵函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)
∴f'（x）=

ax-1

ax2

≥0對(duì) x∈[1，+∞）恒成立 
∴ax-1≥0 在x∈[1，+∞）上恒成立 
∴a≥

1

x

，對(duì)x∈[1，+∞）恒成立 
∴a≥1．
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，f'（x）=

x-1

x2

．
當(dāng)x∈[

1

2

，1）時(shí)，f'（x）＜0，故f（x）在x∈[

1

2

，1）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在x∈[1，2]上單調(diào)遞增．
∴f（x）在x∈[

1

2

，2]上有唯一極小值點(diǎn)，
故f（x）_min=f（x）_極小值=f（1）=0
∵f（

1

2

）=1-ln2，f（2）=-

1

2

+ln2，f（

1

2

）-f（2）=

3

2

-2ln2=

lne3-ln16

2

．
∵e³＞16，∴f（

1

2

）-f（2）＞0?f（

1

2

）＞f（2）．（10分）
∴f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上的最大值f（x）=f（

1

2

）=1-ln2．
綜上可知，函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上的最大值是1-ln2，最小值是0．

點(diǎn)評(píng)：本題第二問(wèn)考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過(guò)比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．