Question

【題目】將2、3、4、6、8、9、12、15共八個(gè)數(shù)排成一行,使得任意相鄰兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)均大于1.則所有可能的排法共有()種

A. 720 B. 1014 C. 576 D. 1296

Answer 1

【答案】D

【解析】

先將八個(gè)數(shù)分成三組:

I(2,4,8),Ⅱ(3,9,15),Ⅲ(6,12)由I組中與Ⅱ組中的數(shù)無公因子,知滿足條件的排列必為:

(1)取出6、12兩數(shù)以后,剩余數(shù)分成三部分排列(依次)I、Ⅱ、I或Ⅱ、I、Ⅱ,此時(shí),這六個(gè)數(shù)的排列有2×3!×3!×2=144種.而6、12放在不同部分相交的地方有兩種不同的放法,共有2×144=288種

(2)取出6、12兩數(shù)以后,剩余數(shù)分成兩部分排列I、Ⅱ或Ⅱ、I,此時(shí),這六個(gè)數(shù)有2×3!×3!種排列方式,而6、12若全部在I組與Ⅱ組的交界處,有兩種排法,否則,只有一個(gè)在交界處,另一個(gè)位置有六種選法,共有

故所求的排法數(shù)為1008+288=1296.