Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、P分別是BC、A₁D₁的中點，M、N分別是AE、CD₁的中點，AD=A₁A₁=a，Ab=2a，
（Ⅰ）求證：MN∥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）求二面角P-AE-D的大小；
（Ⅲ）求三棱錐P-DEN的體積．

Answer 1

【答案】分析：法一、（1）要證明線面平行，關鍵是在平面內找到一條可能與已知直線平行的直線，觀察到平面ADD₁A₁中三條已知直線與PC都不平行，故我們要考慮在平面ADD₁A₁中做一條與PC可能平行直線輔助線，然后再進行證明．
（2）要求二面角的余弦，要先構造出二面角的平面角，然后利用解三角形的方法，求出這個平面角的余弦值，進而給出二面角的余弦值．
（3）要求三棱錐的體積，只要求出底面的面積，及對應的高代入棱錐體積公式，即可求解．
法二、構造空間直角坐標系，求出各點的坐標，進行求出相應直線的方向向量和平面的法向量，利用向量法進行求解．
解答：解：法一：（Ⅰ）證明：取CD的中點K，連接MK，NK
∵M，N，K分別為AK，CD₁，CD的中點
∵MK∥AD，NK∥DD₁
∴MK∥面ADD₁A₁，NK∥面ADD₁A₁，又MK與NK交于K
∴面MNK∥面ADD₁A₁，
∴MN∥面ADD₁A₁
（Ⅱ）設F為AD的中點
∵P為A₁D₁的中點∴PF∥D₁D∴PF⊥面ABCD
作FH⊥AE，交AE于H，連接PH，則由三垂線定理得AE⊥PH
從而∠PHF為二面角P-AE-D的平面角．
在Rt△AEF中，，
從而
在Rt△PFH中，
故：二面角P-AE-D的大小為

（Ⅲ）
作DQ⊥CD₁，交CD₁于Q，由A₁D₁⊥面CDD₁C₁得A₁C₁⊥DQ
∴DQ⊥面BCD₁A₁
∴在Rt△CDD₁中，
∴==

方法二：以D為原點，DA，DC，DD₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立直角坐標系，

則A（a，0，0），B（a，2a，0），C（0，2a，0），A₁（a，0，a），D₁（0，0，a）
∵E，P，M，N分別是BC，A₁D₁，AE，CD₁的中點
∴，
（Ⅰ）
取，顯然面ADD₁A₁，
∴
又MN∉面ADD₁A₁
∴MN∥面ADD₁A₁

（Ⅱ）過P作PH⊥AE，交AE于H，取AD的中點F，則
∵設H（x，y，0），則
又
由，及H在直線AE上，可得：
解得
∴
∴即
∴與所夾的角等于二面角P-AE-D的大小
故：二面角P-AE-D的大小為

（Ⅲ）設為平面DEN的法向量，
則
又
∴即∴可取
∴P點到平面DEN的距離為
∵，
∴
∴
點評：判斷或證明線面平行的常用方法有：①利用線面平行的定義（無公共點）；②利用線面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性質定理（α∥β，a?α⇒a∥β）；④利用面面平行的性質（α∥β，a?α，a?，a∥α⇒?a∥β）．
求二面角，關鍵是構造出二面角的平面角，常用的方法有利用三垂線定理和通過求法向量的夾角，然后再將其轉化為二面角的平面角．本題也可以用空間向量來解決，其步驟是：建立空間直角坐標系⇒明確相關點的坐標⇒明確相關向量的坐標⇒通過空間向量的坐標運算求解．