Question

【題目】在直角坐標系中，圓：經過伸縮變換，后得到曲線以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的單位長度，建立極坐標系，直線l的極坐標方程為

求曲線的直角坐標方程及直線l的直角坐標方程；

在上求一點M，使點M到直線l的距離最小，并求出最小距離．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）.

【解析】

（1）由后得到曲線C2，可得：，代入圓C1：x2+y2=1，化簡可得曲線C2的直角坐標方程，將直線l的極坐標方程為cosθ+2sinθ=化為：ρcosθ+2ρsinθ=10，進而可得直線l的直角坐標方程.

（2）將直線x+2y﹣10=0平移與C2相切時，則第一象限內的切點M滿足條件，聯立方程求出M點的坐標，進而可得答案.

（1）因為后得到曲線，

，代入圓：得：，

故曲線的直角坐標方程為；

直線l的極坐標方程為．

即，即.

將直線平移與相切時，則第一象限內的切點M滿足條件，

設過M的直線為，

則由得：，

由得：，

故，或，舍去，

則，即M點的坐標為，

則點M到直線l的距離