Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）當時，證明： .

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）先代入，對求導數，再算出， ，進而可得曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）先構造函數，再利用導數可得的最小值，，進而可證當時， ．

試題解析：（Ⅰ）解：當時， ，

所以．

所以， .

所以曲線在點處的切線方程為．

即.

（Ⅱ）證法一：當時， .

要證明，只需證明.

以下給出三種思路證明.

思路1：設，則.

設，則，

所以函數 在上單調遞增

因為， ，

所以函數在上有唯一零點，且

因為時，所以，即

當時， ；當時，

所以當時， 取得最小值．

故．

綜上可知，當時， .

思路2：先證明 ．

設，則．

因為當時， ，當時， ，

所以當時，函數單調遞減，當時，函數單調遞增．

所以．

所以（當且僅當時取等號）．

所以要證明，

只需證明．

下面證明．

設，則．

當時， ，當時， ，

所以當時，函數單調遞減，當時，函數單調遞增．

所以．

所以（當且僅當時取等號）．

由于取等號的條件不同，

所以．

綜上可知，當時， .

（若考生先放縮，或、同時放縮，請參考此思路給分！）

思路3：先證明.

因為曲線與曲線的圖像關于直線對稱，

設直線 與曲線， 分別交于點， ，點， 到直線

的距離分別為， ，

則．

其中， ．

①設 ，則．

因為，所以．

所以在上單調遞增，則．

所以．

②設 ，則．

因為當時， ；當時， ，

所以當時， 單調遞減；當時， 單調遞增．

所以．

所以．

所以．

綜上可知，當時， .

證法二：因為，

要證明，只需證明.

以下給出兩種思路證明.

思路1：設，則.

設，則．

所以函數 在上單調遞增．

因為， ，

所以函數在上有唯一零點，且.

因為，所以，即．

當時， ；當時， .

所以當時， 取得最小值．

故．

綜上可知，當時， ．

思路2：先證明，且．

設，則．

因為當時， ；當時， ，

所以在上單調遞減，在上單調遞增．

所以當時， 取得最小值．

所以，即（當且僅當時取等號）．

由，得（當且僅當時取等號）．

所以（當且僅當時取等號）．

再證明．

因為， ，且與不同時取等號，

所以 ．

綜上可知，當時， ．