Question

設O為△ABC的內心，當AB=AC=5，BC=6時，

AO

=m

AB

+n

BC

，則m+n的值為______．

Answer 1

由題意，以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸建立坐標系，則A（0，4），B（-3，0），C（3，0），則

AB

（-3，-4），

BC

=（6，0）
因為點O在∠ABC的平分線上，所以

BO

與

BA

及

BC

的單位向量的和向量共線．
設這個和向量為

u

，則

u

=（

3

5

，

4

5

）+（1，0）=（

8

5

，

4

5

），

u

的單位向量

u0

=（

2

5

，

1

5

），它與

BO

的單位向量相等，
又

BO

=（3，k），由此得方程

2

5

=

3

9+k2

，解方程得k=

3

2

（另一負根不合題意，舍去）．
所以

AO

=（0，

3

2

-4）=（0，-

5

2

）．
又

AO

=m

AB

+n

BC

，故（0，-

5

2

）=m（-3，-4）+n（6，0），即

-3m+6n=0 -4m=- 5 2

，解得m=

5

8

，n=

5

16

．
故答案為：

15

16