Question

已知函數f（x）=（2ax²-2x+1）e^-2x
（1）若a=2，求函數f（x）的極大值和極小值；
（2）若f（x）在區間（2，3）上單調遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出函數的導數，令導數等于0求出導數的零點，再令導數大于0求出單調增區間，導數小于0求出函數的減區間，再由極值的定義，導數零點左增右減為極大值點，左減右增為極小值點，求出相應極值即可；
（2）先求出f（x）的導數，由于f（x）在區間（2，3）上單調遞減，則f′（x）＜0在區間（2，3）上恒成立，即a＞

1

x

，x∈(2，3)恒成立，即得a的范圍．

解答：解：（1）當a=2時，f（x）=（4x²-2x+1）e^-2xf'（x）=-4（2x²-3x+1）e^-2x=-4（x-1）（2x-1）e^-2x…（3分）
令f'（x）=0∴x1=1，x2=

1

2

當x=1時，f（x）有極大值3e^-2；當x=

1

2

時，f(x)有極小值e^-1…（6分）
（2）f'（x）=-4[ax²-（a+1）x+1]e^-2x，
令f'（x）＜0，ax²-（a+1）x+1=（ax-1）（x-1）＞0
對x∈（2，3）恒成立，…（9分）
即ax-1＞0對x∈（2，3）恒成立，亦即a＞

1

x

，x∈(2，3)恒成立
而g(x)=

1

x

＜

1

2

故a≥

1

2

．…（14分）

點評：本題考查利用導數研究函數的極值，求解本題關鍵是記憶好求導的公式以及極值的定義，要會根據函數的增減性得到函數的極值，本題還涉及了利用導數研究函數的單調性等知識，考查運算求解能力．要求會根據導函數的正負判斷得到函數的單調區間，對含有字母參數的問題能夠運用分類討論的思想方法．屬中檔題．