Question

17．數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a₂=1，并且$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=2（n≥2），則數(shù)列{a_n}的第100項為（　　）

• A． $\frac{1}{{{2^{100}}}}$
• B． $\frac{1}{{{2^{50}}}}$
• C． $\frac{1}{100}$
• D． $\frac{1}{50}$

Answer 1

分析 由$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=2（n≥2），可得：$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$，可得數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數(shù)列，利用通項公式即可得出．

解答 解：由$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=2（n≥2），可得：$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$，
可得數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數(shù)列，首項為$\frac{1}{2}$，公差為$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n}{2}$．
解得a_n=$\frac{2}{n}$．
∴a₁₀₀=$\frac{2}{100}$=$\frac{1}{50}$．
故選：D．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關系、等差數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．