Question

已知橢圓過點D（1，），焦點為F₁，F₂，滿足．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點（2，0）的直線與橢圓C相交于兩點A、B，P為橢圓上一點，且滿足（其中O為坐標原點），求整數t的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把點的坐標代入橢圓方程得到一個關于a，b的方程，由代入坐標后求出c的值，結合a²-b²=c²得到關于a，b的另一方程聯立后可求解a，b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設出直線方程，和橢圓聯立后化為關于x的一元二次方程，由判別式大于0求出k的范圍，利用根與系數關系得到A，B兩點的橫坐標的和與積，代入后得到P點的坐標，把P點坐標代入橢圓方程后得到t與k的關系，由k的范圍確定t的范圍．
解答：解：（Ⅰ）由已知過點，得，①
記c=，不妨設F₁（-c，0），F₂（c，0），則=（-c-1，-），=（c-1，-），
由，得c²=1，即a²-b²=1．②
由①、②，得a²=2，b²=1．
故橢的方程為．
（Ⅱ）由題意知，直線AB的斜率存在．
設AB方程為y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）．
由，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．
△=64k²-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，．
，
∵，∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y）．
，
∵點P在橢圓上，∴．
∴16k²=t²（1+2k²），，
∴-2＜t＜2．
∴t的最大整數值為1．
點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質，考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了平面向量的坐標運算，訓練了利用代入法求解變量的取值范圍．屬中檔題．