Question

設復數(shù)z₁和z₂滿足關系式z1

.

z

2+

.

A

z1+A

.

z

2=0，其中A為不等于0的復數(shù)．
證明：（1）|z₁+A||z₂+A|=|A|²；（2）

z1+A

z2+A

=|

z1+A

z2+A

|.

Answer 1

分析：（1）因為|z|=|

.

z

|，故|z₁+A||z₂+A|=|z₁+A||

.

z2

+

.

A

|，展開與已知式子比較可得解題思路．
（2）利用復數(shù)的除法運算的算法和（1）中的結論可證．

解答：證明：（1）∵|z1

.

z

2+

.

A

z1+A

.

z

2+A

.

A

|=|A

.

A

|=||A|2|=|A|2
所以|z₁+A||z₂+A|=|A|²
（2）∵A≠0，由此得z₁+A≠0，z₂+A≠0，

z1+A

z2+A

=

(z1+A)( . z 2+ . A )

(z2+A)( . z 2+ . A )

=

z1 . z 2+A . z 2+ . A z1+A . A

|z2+A|2

=

|A|2

|z2+A|2

=

|z1+A||z2+A|

|z2+A|2

=

|z1+A|

|z2+A|

=|

z1+A

z2+A

|.

點評：本題考查復數(shù)的運算、復數(shù)的模等知識，綜合性較強．