【題目】已知
.
（1）求
的單調區間；
（2）若
（其中
為自然對數的底數），且
恒成立，求
的最大值.
【答案】(1)見解析；(2) 
【解析】
（1）對函數求導，對
分成
兩類，討論函數的單調區間.（2）構造函數
，利用導數求得
的最大值，并令這個最大值小于或等于零，由此得到
，構造函數
，利用導數求得
的最大值，進而求得
的最大值.
解：(1) 由
，得
（ⅰ）當
時，
恒成立，
在
上單調遞增；
（ⅱ）當
時，解
得
，當
時，
，單調遞增，
當
時，
，單調遞減。
（2）當
時，
，
令，則
，
由（1）可知，當
時，
在上單調遞增，不合題意；
當
時，在
上單調遞增，在
上單調遞減，
當
時取得最大值。
所以
恒成立，即
，整理得
即
, 。
令，
，
令
，
，解
得
，
當
時，
, 
單調遞增；當
時，
, 單調遞減；
當時取得最大值為
，
因為當
時，
, 然而
，
∴當
時，恒成立，當
時
恒成立，
所以
在
上單調遞增，在
上單調遞減，即函數的最大值為
，所以的最大值為
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列命題中，假命題的是（ ）
A.一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個平面相交.
B.平行于同一平面的兩條直線一定平行.
C.如果平面
不垂直于平面
，那么平面內一定不存在直線垂直于平面.
D.若直線
不平行于平面，且不在平面內，則在平面內不存在與平行的直線.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】電視傳媒公司為了了解某地區電視觀眾對某類體育節目的收視情況，隨機抽取了
名觀眾進行調查，其中女性有
名.下面是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節目時間的頻率分布直方圖:
將日均收看該體育節目時間不低于
分鐘的觀眾稱“體育述”，已知“體育迷”中
名女性.
（1）根據已知條件完成下面的
列聯表，并據此資料你是否認為“體育迷”與性別有關？
非體育迷 | 體育迷 | 合計 | |
男 | |||
女 | |||
合計 |
（2）將日均收看該體育項目不低于
分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”，已知“超級體育述”中有
名女性，若從“超級體育述”中任意選取
人,求至少有
名女性觀眾的概率.
附： 
，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某家庭記錄了未使用節水龍頭
天的日用水量數據（單位：
）和使用了節水龍頭天的日用水量數據，得到頻數分布表如下：
未使用節水龍頭天的日用水量頻數分布表
日用水量 |
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頻數 |
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使用了節水龍頭天的日用水量頻數分布表
日用水量 |
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頻數 |
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（Ⅰ）作出使用了節水龍頭
天的日用水量數據的頻率分布直方圖；
（Ⅱ）估計該家庭使用節水龍頭后，一年能節省多少水？（一年按
天計算，同一組中的數據以這組數據所在區間中點的值作代表）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某高校在
年的自主招生考試成績中隨機抽取
名學生的筆試成績，按成績分組：第
組
，第
組
，第
組
，第
組
，第
組
得到的頻率分布直方圖如圖所示
分別求第
組的頻率；
若該校決定在第組中用分層抽樣的方法抽取
名學生進入第二輪面試，
已知學生甲和學生乙的成績均在第組，求學生甲和學生乙同時進入第二輪面試的概率；
根據直方圖試估計這名學生成績的平均分.（同一組中的數據用改組區間的中間值代表）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示的幾何體是由棱臺
和棱錐
拼接而成的組合體，其底面四邊形
是邊長為
的菱形，且
， 
平面
， 
．
（1）求證：平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，右焦點為
，左頂點為A，右頂點B在直線
上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設點P是橢圓C上異于A，B的點，直線
交直線
于點
，當點
運動時，判斷以
為直徑的圓與直線PF的位置關系，并加以證明．
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