Question

（2009•嘉定區(qū)一模）如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC的邊長(zhǎng)為2，D為BC的中點(diǎn)，三棱柱的體積V=3

3

．
（1）求該三棱柱的側(cè)面積；
（2）求異面直線AB與C₁D所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

Answer 1

分析：（1）由已知中正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC的邊長(zhǎng)為2，三棱柱的體積V=3

3

．我們可以計(jì)算出棱柱的高，代入到棱柱的側(cè)面積公式，即可求出答案．
（2）取AC中點(diǎn)E，連接DE、C₁E，由三角形中位線定理及異面直線夾角的定義，可得∠C₁DE（或其補(bǔ)角）就是異面直線AB與C₁D所成的角，解△C₁DE即可得到異面直線AB與C₁D所成角的大小．

解答：解：（1）因?yàn)槿�棱柱的體積V=3

3

，而S底=

3

4

×4=

3

，所以A₁A=3…（3分）
所以S_側(cè)=3×2×3=18．…（6分）
（2）取AC中點(diǎn)E，連接DE、C₁E，
則ED∥AB，所以，∠C₁DE（或其補(bǔ)角）就是異面直線AB與C₁D所成的角．…（8分）
在△C₁DE中，C1D=C1E=

10

，DE=1，…（9分）
所以cos∠C1DE=

1

2 10

=

10

20

．…（12分）
所以，異面直線AB與C₁D所成角的大小為arccos

10

20

．…（14分）
（或arcsin

390

20

，或arctan

39

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是異面直線的夾角，三棱柱的體積和表面積，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)已知求出棱柱的高，（2）的關(guān)鍵是構(gòu)造出∠C₁DE（或其補(bǔ)角）就是異面直線AB與C₁D所成的角，將異面直線夾角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題．