Question

設函數y=ax³+bx²+cx+d的圖象與y軸交點為P點，且曲線在P點處的切線方程為12x-y-4=0，若函數在x=2處取得極值0，試確定函數的解析式．

Answer 1

分析：函數y=ax³+bx²+cx+d的圖象與y軸交點為P點得到P的坐標，代入到切線方程中求出P的坐標又因為切線方程為12x-y-4=0的斜率為12，導數y′|_x=0=12，求出y′，代入求出c，又根據函數在x=2處取得極值0，得到y′|_x=2=0，f（2）=0，求出a、b得到函數解析式．

解答：解：∵y=ax³+bx²+cx+d的圖象與y軸的交點為P，
∴P的坐標為P（0，d）．又曲線在點P處的切線方程為y=12x-4，
P點坐標適合方程，從而d=-4．
又切線斜率k=12，故在x=0處的導數y′|_x=0=12，
而y′=3ax²+2bx+c，y′|_x=0=c，從而c=12．
又函數在x=2處取得極值0，所以

y′ x=2=0 f(2)=0

，即

12a+4b+12=0 8a+4b+20=0

解得a=2，b=-9．
∴所求函數解析式為y=2x³-9x²+12x-4．

點評：考查學生會利用待定系數法求函數解析式，會求函數的導函數并會根據導數表示直線的斜率．理解極值的意義．