Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為菱形，四邊形ACFE為平行四邊形，設BD與AC相交于點G，AB＝BD＝AE＝2，∠EAD＝∠EAB．

（1）證明：平面ACFE⊥平面ABCD；

（2）若直線AE與BC的夾角為60°，求直線EF與平面BED所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）先由已知條件求得，得到，再結合菱形的對角線垂直，可得平面，即可證得平面ACFE⊥平面ABCD；

（2）建立空間直角坐標系，求得各點的坐標，設的坐標，根據(jù)條件求出，再求得直線的方向向量和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．

（1）證明：連接EG，因為AB＝BD＝AE＝2，∠EAD＝∠EAB，

可得△EAD≌EAB，∴ED＝EB．

∵G為BD的中點，所以EG⊥BD，因為四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，

∴BD⊥平面ACEF，因為BD平面ABCD；

∴平面ACFE⊥平面ABCD；

（2）因為EF∥AG，直線EF與平面BED所成角即為AG與平面BED所成角；

以G為原點建立如圖所示空間直角坐標系，如圖所示，

設E（a，0，b）則（a，0，b），

因為（，﹣1，0），

所以由條件可得：||2＝（a）2+b2＝4且a+3＝2×2×cos60°＝2；

解得，所以（，﹣1，），因為（0，2，0）；

所以可取平面BED的法向量（2，0，﹣1），因為（﹣2，0，0），

設直線EF與平面BED所成角為θ，則sinθ，

∵0＜θ；∴sosθ；

既直線EF與平面BED所成角的余弦值為．