Question

已知函數f（x）=|x-3|-|x-a|．
（1）當a=2時，解不等式f（x）≤-

1

2

；
（2）若存在實數x，使得不等式f（x）≥a成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）運用函數的零點分區間，討論當x≥3時，當x≤2時，當2＜x＜3時，化簡不等式解得，最后求并集即可；
（2）由題意知這是一個存在性的問題，須求出不等式左邊的最大值，可運用絕對值不等式的性質可得最大值，再令其大于等于a，即可解出實數a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=2時，f（x）=|x-3|-|x-2|，
當x≥3時，f（x）≤-

1

2

，即為（x-3）-（x-2）≤-

1

2

，即-1≤-

1

2

成立，則有x≥3；
當x≤2時，f（x）≤-

1

2

即為（3-x）-（2-x）≤-

1

2

，即1≤-

1

2

，解得x∈∅；
當2＜x＜3時，f（x）≤-

1

2

即為3-x-（x-2）≤-

1

2

，解得，x≥

11

4

，則有

11

4

≤x＜3．
則原不等式的解集為[

11

4

，3）∪[3，+∞）即為[

11

4

，+∞）；
（2）由絕對值不等式的性質可得||x-3|-|x-a||≤|（x-3）-（x-a）|=|a-3|，
即有f（x）的最大值為|a-3|．
若存在實數x，使得不等式f（x）≥a成立，則有|a-3|≥a，
即

a≥3 a-3≥a

或

a＜3 3-a≥a

，即有a≥3或a≤

3

2

．
則a的取值范圍是（-∞，

3

2

]∪[3，+∞）．

點評：本題考查絕對值不等式，求解本題的關鍵是正確理解題意，區分存在問題與恒成立問題的區別，本題是一個存在問題，解決的是有的問題，故取|a-3|≥a，即小于等于左邊的最大值即滿足題意，本題是一個易錯題，主要錯誤就是出在把存在問題當成恒成立問題求解，因思維錯誤導致錯誤．