Question

將（如圖甲）直角梯形ABEF（圖中數字表示對應線段的長度）沿直線CD折成直二面角，連接部分線段后圍成一個空間幾何體，如圖乙所示．
（1）求異面直線BD與EF所成角的大小；
（2）求二面角D-BF-E的大小．
（3）若F、A、B、C、D這五個點在同一個球面上，求該球的表面積．

Answer 1

分析：先建立空間直角坐標系（1）求出兩條異面直線的方向向量的夾角，進而即可異面直線的夾角；
（2）先求出兩個平面的法向量的夾角，進而即可求出二面角的大小；
（3）取BF的中點H，可證明H點即為球心，進而可計算出表面積．

解答：解：∵平面ABCD⊥平面DCEF，ABCD為正方形，DCEF為直角梯形，
∴分別以DA、DC、DF所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D-xyz，則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，1，1），F（0，0，2）．
（1）∵

DB

=（1，1，0），

EF

=（0，-1，1），∴cos＜

DB

，

EF

＞=

DB • EF

| DB |•| EF |

=-

1

2

，∴＜

DB

，

EF

＞=

2π

3

，
∴異面直線BD與EF所成的角為

π

3

．
（2）∵AC⊥BD，AC⊥DF，∴AC⊥平面BDF，
∴平面BDF的法向量為

k

=

AC

=（-1，1，0），
又設平面BEF的一個法向量為

n

=（1，y，z），而

BE

=（-1，0，1），

EF

=（0，-1，1）．
則由

n • BE =0 n • EF =0

⇒

-1+z=0 -y+z=0

，
得y=z=1．∴

n

=（1，1，1）．
∵cos＜

k

，

n

＞=

k • n

| DB |•| n |

=

0

2 • 3

=0
∴二面角D-BF-E的大小為90°．
（3）設對角線AC與BD相較于點G，取BF的中點H，連接GH，DH，由直角三角形BDF、ABF、BCF，則HD=HF=HB=HA=HC，
∴H即為球心，且HD=

1

2

22+( 2 )2

=

6

2

．
∴S_球=4π(

6

2

)2=6π．

點評：熟練掌握：通過建立空間直角坐標系利用兩條異面直線的方向向量的夾角求異面直線的夾角、利用兩個平面的法向量的夾角求二面角及正確找出球心是解題的關鍵．