Question

18.如下圖,在長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,已知AB=4,

AD=3,AA₁=2. E、F分別是線段AB、BC上的點,且EB=FB=1.

（Ⅰ）求二面角C—DE—C₁的正切值;

（Ⅱ）求直線EC₁與FD₁所成角的余弦值.

Answer 1

18.本小題主要考查二面角、異面直線所成的角、空間向量等知識和思維能力、空間想象能力、運算能力.

     解法一：（Ⅰ）過C作CG⊥DE，垂足為G，連結C₁G.

　　∵CC₁⊥平面ABCD，

　　∴CG是C₁G在平面ABCD上的射影，

　　由三垂線定理得DE⊥C₁G.

　　∴∠CGC₁是二面角C－DE－C₁的平面角.

　　在△ADE中，AE＝AD＝3，∠DAE＝90，

　　∴∠ADE＝45∠CDG＝90－45=45.

　　∴CG＝CD·sin∠CDG＝4×sin45=2.

    ∴tan∠CGC₁===.

　（Ⅱ）延長BA至點E₁，使AE₁＝1，連結E₁F、DE₁、D₁E₁、DF，

　　　　有D₁C₁∥E₁E，D₁C₁＝E₁E，則四邊形D₁E₁EC₁是平行四邊形.

　　　　所以E₁D₁∥EC₁.于是∠E₁D₁F為EC₁與FD₁所成的角.

　　　　在Rt△BE₁F中，E₁F＝＝＝.

　　　　在Rt△D₁DE₁中，D₁E₁＝＝　＝＝.

　　　　在Rt△D₁DF中，FD₁＝＝

＝＝.

    　　所以在△E₁FD₁中，由余弦定理得：

　      cosE₁D₁F＝==.

　　解法二：（Ⅰ）以A為原點,、、

分別為x軸、y軸、z軸的正向建立空間直角坐標系,則有

D（0,3,0）、D₁（0,3,2）、E（3,0,0）、F（4,1,0）、C₁（4,3,2）

于是,=（3,－3,0）,=（1,3,2）,=（－4,2,2）.

設向量n=（x,y,z）與平面C₁DE垂直,則有

x=y=－z.

∴n=（－,－,z）=（－1,－1,2）,其中z>0.

取n₀=（－1,－1,2）,則n₀是一個與平面C₁DE垂直的向量.

∵向量=（0,0,2）與平面CDE垂直,

∴n₀與所成的角θ為二面角C－DE－C₁的平面角.

∴cosθ===,

∴tanθ=.

（Ⅱ）設EC₁與FD₁所成角為β,則

cosβ===.