Question

已知拋物線y²=-x與直線y=k（x+1）相交于A、B兩點．
（1）求證：以AB為直徑的圓過坐標系的原點O；
（2）當△OAB的面積等于

10

時，求k的值．

Answer 1

分析：（1）利用直線與拋物線聯立方程組，通過韋達定理，推出AN兩點縱橫坐標的關系，求出OA與OB的斜率乘積等于-1，即可得到以AB為直徑的圓過坐標系的原點O；
（2）設直線與x軸交于N，求出N（-1，0），利用S_△OAB=S_△OAN+S_△ONB，通過△OAB的面積等于

10

，即可求k的值．

解答：解：（1）證明：由題意可得方程組

y2=-x y=k(x+1)

，
消去x可得ky²+y-k=0，
設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）由韋達定理可得y₁•y₂=-1，
∵A、B在拋物線y²=-x上，
∴y₁²=-x₁，y₂²=-x₂，y₁²y₂²=x₁x₂，
∵k_OA•k_OB=

y1y2

x1x2

=

1

y1y2

=-1；
∴OA⊥OB，
故以AB為直徑的圓過坐標系的原點O．
（2）解：設直線與x軸交于N，又k≠0，
∴令y=0，則x=-1，即N（-1，0），
∵S_△OAB=S_△OAN+S_△ONB
=

1

2

•|ON|•|y1|+

1

2

•|ON|•|y2|
=

1

2

|ON|•|y1-y2|，
∴S_△OAB=

1

2

×1×

(y1+y2)2-4y 1y2

=

1

2

•

( 1 k )2+4

=

10

，
解得k=±

1

6

．

點評：本題考查直線與拋物線的關系，韋達定理的應用，三角形面積的轉化，考查計算能力，轉化思想的應用．