Question

已知拋物線y²=-x與直線y=k（x+1）相交于A、B兩點．
（1）求證：OA⊥OB；
（2）當△OAB的面積等于

10

時，求k的值．

Answer 1

分析：（1）證明OA⊥OB可有兩種思路：①證k_OA•k_OB=-1；②取AB中點M，證|OM|=

1

2

|AB|．
（2）求k的值，關鍵是利用面積建立關于k的方程，求△AOB的面積也有兩種思路：①利用S_△OAB=

1

2

|AB|•h（h為O到AB的距離）；②設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直線和x軸交點為N，利用S_△OAB=

1

2

|AB|•|y₁-y₂|．

解答：解：（1）由方程y²=-x，y=k（x+1）
消去x后，整理得
ky²+y-k=0．
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由韋達定理y₁•y₂=-1．
∵A、B在拋物線y²=-x上，
∴y₁²=-x₁，y₂²=-x₂，y₁²•y₂²=x₁x₂．
∵k_OA•k_OB=

y1

x1

•

y2

x2

=

y1y2

x1x2

=

1

y1y2

=-1，
∴OA⊥OB．
（2）設直線與x軸交于N，又顯然k≠0，
∴令y=0，則x=-1，即N（-1，0）．
∵S_△OAB=S_△OAN+S_△OBN
=

1

2

|ON||y₁|+

1

2

|ON||y₂|
=

1

2

|ON|•|y₁-y₂|，
∴S_△OAB=

1

2

•1•

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

( 1 k )2+4

．
∵S_△OAB=

10

，
∴

10

=

1

2

1 k2 +4

．解得k=±

1

6

．

點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的關系，拋物線的應用，其中聯立方程、設而不求、韋達定理三者綜合應用是解答此類問題最常用的方法，但在解方程組時，是消去x還是消去y，這要根據解題的思路去確定．當然，這里消去x是最簡捷的．