Question

設二次方程a_nx²－a_n+1x＋1＝0(n＝1，2，3，…)有兩根α、β，且滿足6α－2αβ＋6β＝3．

(1)試用a_n表示a_n+1；

(2)求證：{a_n－}是等比數列；

(3)當a₁＝時，求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)根據根與系數的關系，有關系式 　　代入已知條件6(α＋β)－2αβ＝3，得－＝3． 　　∴an+1＝an＋． 　　(2)由于an+1＝an＋，改寫為an+1－＝(an－)． 　　故{an－}是等比數列． 　　(3)當a1＝時，a1－＝． 　　故{an－}是以為首項，以為公比的等比數列． 　　∴an＝＋()n，n＝1，2，3，…， 　　即數列{an}的通項公式是an＝＋()n，n＝1，2，3，…． 　　思路分析：這是有關數列、二次方程的根與系數關系的綜合題．根據題目條件列出等量關系，找到遞推關系即可求解．