Question

設二次方程a_nx²-a_n+1x+1=0（n∈N^*）有兩根α、β，且滿足6α-2αβ+6β=3．
（1）試用a_n表示a_n+1；
（2）求證：{a_n-

2

3

}是等比數列；
（3）若a₁=

7

6

，求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）直接利用韋達定理求出兩根之和以及兩根之積，再代入6α-2αβ+6β=3整理即可得an+1=

1

2

an+

1

3．

．
（2）對（1）的結論兩邊同時減去

2

3

整理即可證：數列{an-

2

3

}是等比數列；
（3）先利用（2）求出數列{an-

2

3

}的通項公式，即可求數列{a_n}的通項公式．

解答：解：（1）由韋達定理得：α+β=

an+1

an

，α•β=

1

an

，
由6α-2αβ+6β=3得6•

an+1

an

-

2

an

=3，
故an+1=

1

2

an+

1

3．

．
（2）證明：因為an+1-

2

3

=

1

2

a_n-

1

3

=

1

2

（an-

2

3

），
所以

an+1- 2 3

an- 2 3

=

1

2

，
故數列{an-

2

3

}是公比為

1

2

的等比數列；
（3）當a1=

7

6

時，數列{an-

2

3

}的首項a1-

2

3

=

7

6

-

2

3

=

1

2

，
故an-

2

3

=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n，
于是．a_n=(

1

2

)n+

2

3

．

點評：本題是對數列的遞推關系以及韋達定理和等比數列知識的綜合考查．本題雖然問比較多，但每一問都比較基礎，屬于中檔題．