Question

設二次方程anx2-an+1x+1=0，n∈N₊有兩根α和β，且滿足6α-2αβ+6β=3，a₁=1
（1）試用a_n表示a_n+1；
（2）證明{an-

2

3

}是等比數列；
（3）設cn=n•(an-

2

3

)，n∈N₊，T_n為{c_n}的前n項和，證明T_n＜2，（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）由題設知6α-2αβ+6β=3，故即6•

an+1

an

-2•

1

an

=3，由此能用a_n表示a_n+1．
（2）由an+1=

1

2

an+

1

3

，n∈N₊．知a_n+1-

2

3

=

1

2

an+

1

3

-

2

3

=

1

2

(an-

2

3

)，由此能夠證明{an-

2

3

}是等比數列．
（3）由{an-

2

3

}是以

1

3

為首項，以

1

2

為公比的等比數列，知an-

2

3

=

1

3

•(

1

2

)n-1，推出c_n，由此利用錯位相減法能夠證明T_n＜2．

解答：解：（1）∵二次方程anx2-an+1x+1=0，n∈N₊有兩根α和β，
且滿足6α-2αβ+6β=3，a₁=1，
∴6α-2αβ+6β=3，
即6•

an+1

an

-2•

1

an

=3，
∴an+1=

1

2

an+

1

3

，n∈N₊．
（2）∵an+1=

1

2

an+

1

3

，n∈N₊．
∴a_n+1-

2

3

=

1

2

an+

1

3

-

2

3

=

1

2

(an-

2

3

)，
且a1-

2

3

=

1

3

，
∴{an-

2

3

}是以

1

2

為首項，以

1

2

為公比的等比數列．
（3）∵{an-

2

3

}是以

1

3

為首項，以

1

2

為公比的等比數列，
∴an-

2

3

=

1

3

•(

1

2

)n-1，c_n=n•

1

3

•(

1

2

)n-1，
∴Tn=

1

3

[1+2•(

1

2

)1+3•(

1

2

)2+…+（n-1）•(

1

2

)n-1]，

1

2

Tn=

1

3

[1•(

1

2

) +2•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3+…+（n-1）•(

1

2

)n-1]+

1

3

n•(

1

2

)n，
兩式相減，得

1

2

Tn=

1

3

[1+

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-1]-

1

3

n•(

1

2

)n
=

1 3 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

1

3

n•（

1

2

）ⁿ
T_n=

2

3

-

2

3

•

1

2n

-

1

3

n•

1

2n+1

，
整理，得T_n＜2．

點評：本題考查數列的性質的綜合運用，考查不等式的證明，綜合性強，難度大，對數學思想的要求較高，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．