Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（1，

2

2

），F₁，F₂分別為橢圓的左、右焦點，且F₁、F₂距離為2．
（1）求橢圓的標準方程．
（2）是否存在圓心在y軸上的圓，使圓在x軸上方與橢圓交于P₁，P₂兩點（P₁在P₂的左側），P₁F₁和P₂F₂都是圓的切線，且P₁F₁⊥P₂F₂？如果存在，求出圓的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

1 a2 + 1 2b2 =1 2c=2 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓的標準方程．
（2）設圓心在y軸上的圓C與橢圓

x2

2

+y2=1相交，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是兩個交點，由圓和橢圓的對稱性，知x2=-

x

1

，y₁=y₂，|P₁P₂|=2|x₁|，從而得到-（x₁+1）²+y12=0，由此能求出存在滿足條件的圓，其方程為：x2+(y-

5

3

)2=

32

9

．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（1，

2

2

），
F₁，F₂分別為橢圓的左、右焦點，且F₁、F₂距離為2，
∴

1 a2 + 1 2b2 =1 2c=2 a2=b2+c2

，解得a=

2

，b=c=1，
∴橢圓的標準方程為

x2

2

+y2=1．
（2）如圖，設圓心在y軸上的圓C與橢圓

x2

2

+y2=1相交，
P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是兩個交點，y₁＞0，y₂＞0，
F₁P₁，F₂P₂是圓C的切線，且F₁P₁⊥F₂P₂，
由圓和橢圓的對稱性，知x2=-

x

1

，y₁=y₂，
|P₁P₂|=2|x₁|，
由（1）知F₁（-1，0），F₂（1，0），
所以

F1P1

=（x₁+1，y₁），

F2P2

=（-x₁-1，y₁），再由F₁P₁⊥F2P2 ，
得-（x₁+1）²+y12=0，
由橢圓方程得1-

x12

2

=（x₁+1）²，即3x12+4x1=0，
解得x1=-

4

3

或x₁=0．
當x₁=0時，P₁，P₂重合，此時題設要求的圓不存在．
當x1=-

4

3

時，過P₁，P₂分別與F₁P₁，F₂P₂垂直的直線的交點即為圓心C，
設C（0，y₀），由CP₁⊥F₁P₁，得

y1-y0

x1

•

y1

x1+1

=-1，
而y₁=|x₁+1|=

1

3

，故y0=

5

3

，
圓C的半徑|CP₁|=

(- 4 3 )2+( 1 3 - 5 3 )2

=

4 2

3

．
綜上，存在滿足條件的圓，其方程為：x2+(y-

5

3

)2=

32

9

．

點評：本題考查橢圓的標準方程的求法，考查滿足條件的圓是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．