Question

設函數y=f（x）不恒等于零，對于任意x，y有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，f（x）＜0，則f （x） 為R上的    （填增，減）函數．

Answer 1

【答案】分析：先令x=y=0求出f（0）的值，然后令y=-x，可得函數的奇偶性，設x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符號，即可得到函數的單調性．
解答：解：當x=y=0時，則有f（0）=f（0）+f（0）=2（0），
所以f（0）=0，
令y=-x，則有f（0）=f（x）+f（-x）=0，
則有f（-x）=-f（x），
設x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
∴f （x） 為R上的減函數
故答案為：減
點評：本題主要考查了抽象函數單調性的判定，以及奇偶性和函數值，屬于中檔題．