Question

已知拋物線x²=2y的焦點為F，準線為l，過l上一點P，作拋物線的兩條切線，切點分別為A、B，某數學興趣小組在研究討論中，提出如下兩個猜想：
①直線PA、PB垂直；
②等式中λ為常數；現請你進行一一驗證這兩個猜想是否成立．

Answer 1

【答案】分析：①要證直線PA、PB垂直，只需證相應斜率為-1；
②分別用坐標表示向量，分別計算，，可得λ=-1．
解答：解：①由題意，可設點P（t，-0.5）．A（2a，2a²）．B（2b，2b²）．對2y=x²求導得：y'=x．易知；，，即a，b滿足2x²+0.5=4x²-2tx．∴2x²-2tx-0.5=0．∴ab=．
又兩切線PA，PB的斜率為2a，2b．而2a×2b=4ab=-1．故PA，PB垂直．
②，
∴
∵P（a+b，-），∴，∴
∴
∴
∴λ=-1
點評：本題以拋物線為載體，考查導數的運用，考查直線的垂直，考查用坐標表示向量，有一定的綜合性．