Question

已知拋物線x²=2y上有兩個點A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）且x₁x₂=-2m（m為定值且m＞0）．
（1）求證：線段AB與軸的交點為定點（0，m）；
（2） （理科）過A，B兩點做拋物線的切線，求

PA

與

PB

夾角的取值范圍；
（文科）過A，B兩點做拋物線的切線，求兩切線夾角的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）線段AB與軸交點設為M（0，y₀），A(x1，

x12

2

)，B(x2，

x22

2

)，

x1

-x2

=

x12 2 -y0

y0- x22 2

m（x₂-x₁）=y₀（x₂-x₁），m=y₀．
由此知線段AB與軸的交點為定點（0，m）．
（2）（理）設過A，B兩點做拋物線的切線的交點為P，則兩切線的夾角為∠APB．由x²=2y可得y=

x2

2

．由此借助導數可求出

PA

與

PB

夾角的取值范圍．
（文）設過A，B兩點做拋物線的切線的交點為P，則兩切線的夾角為∠APB．由x²=2y可得y=

x2

2

，則y′=x過A，B兩點做拋物線的切線的斜率分別為K_AP=x₁，K_AP=x₂，由此可求出兩切線夾角的取值范圍．

解答：解：（1）∵x₁x₂=-2m＜0∴線段AB與軸必有交點，且設為M（0，y₀）．
設A(x1，

x12

2

)，B(x2，

x22

2

)，
∴

x1

-x2

=

x12 2 -y0

y0- x22 2

∴

1

2

x1x22-x1y0=

1

2

x2x12-x2y0
∵x₁x₂=-2m∴-mx₂-x₁y₀=-mx₁-x₂y₀
∴m（x₂-x₁）=y₀（x₂-x₁）∵x₂≠x₁∴m=y₀．
即線段AB與軸的交點為定點（0，m）．
（2）（理）設過A，B兩點做拋物線的切線的交點為P，則兩切線的夾角為∠APB．
由x²=2y可得y=

x2

2

，則y′=x，
∴過A，B兩點做拋物線的切線的斜率分別為K_AP=x₁，K_AP=x₂，
若m=

1

2

，則tan∠APB=

π

2

．
若m≠

1

2

，∴tan∠APB=

x1-x2

1+x1x2

=

x1-x2

1-2m

，
∵x₁x₂=-2m∴x1-x2=-(x2-x1)≤-2

-x1x2

=-2

-2m

，
當m＞

1

2

時，tan∠APB≥

-2 -2m

1-2m

＞0∴arctan

2 -2m

2m-1

≤∠APB＜

π

2

．
當m＜

1

2

時，tan∠APB≤

-2 -2m

1-2m

＜0∴π-arctan

2 -2m

1-2m

≤∠APB＜π．
綜上所述，m=

1

2

，則tan∠APB=

π

2

m＞

1

2

時，arctan

2 -2m

2m-1

≤∠APB＜

π

2

.m＜

1

2

時，π-arctan

2 -2m

1-2m

≤∠APB＜π．
（文）設過A，B兩點做拋物線的切線的交點為P，則兩切線的夾角為∠APB．
由x²=2y可得y=

x2

2

，則y′=x，
∴過A，B兩點做拋物線的切線的斜率分別為K_AP=x₁，K_AP=x₂，
若m=

1

2

，則tan∠APB=

π

2

．
若m≠

1

2

，∴tan∠APB=|

x1-x2

1+x1x2

|=|

x1-x2

1-2m

|
∵x₁x₂=-2m∴|x1-x2|≥2

-x1x2

=2

-2m

．
∴tan∠APB≥

2 -2m

|1-2m|

，arctan

2 -2m

|1-2m|

≤∠APB＜

π

2

．
∴兩切線夾角的取值范圍為[arctan

2 -2m

|1-2m|

，

π

2

]．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合應用，解題時要注意討論思想的應用．解答的關鍵是列方程和分類討論．屬難題．