Question

已知數列滿足,且.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前項和；
（3）設，記，證明：.

Answer 1

（1）. （2）=.
（3）=，

<1 。

試題分析：（1）由，知數列是首項為1，公差為1的等差數列，       2分
∴，           3分
∴.                4分
（2）由（1）得=
∴=---------------------------①      5分
-------------------②       6分
①-②得=
∴=.                 8分
（3）由（1）得          10分
=          12分
∴
<1                   14分
點評：中檔題，本題綜合考查等差數列、等比數列的基礎知識，本解答從確定通項公式入手，明確了所研究數列的特征。“分組求和法”、“錯位相消法”、“裂項相消法”是高考常常考到數列求和方法。先求和，再利用“放縮法”證明不等式，是常用方法。